KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa
karena atas limpahan rahmat dan hidayahnya sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah kami yang berjudul “Matriks Dalam Kehidupan Sehari-Hari”Pada makalah
ini kami banyak mengambil dari berbagai sumber dan refrensi dan pengarahan dari
berbagai pihak .oleh sebab itu, dalam kesempatan ini kami mengucapkan terima
kasih sebesar-sebesarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan makalah ini.
Penyusunan menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini sangat
jauh dari sempurna, untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang
bersifat membangun guna kesempurnaan laporan ini.
Akhir kata penyusun mengucapkan terima
kasih dan semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk semua pihak yang membaca…
Taluk
Kuantan, Agustus 2016
Penyusun
DAFTAR ISI
Kata
Pengantar............................................................................................................. i
Daftar
Isi...................................................................................................................... ii
BAB
I PENDAHULUAN............................................................................................. 1
1.1
Latar Belakang................................................................................................. 1
1.2
Rumusan Masalah............................................................................................ 2
1.3
Tujuan.............................................................................................................. 2
BAB
II PEMBAHASAN.............................................................................................. 3
2.1 Pengertian Matriks........................................................................................... 3
2.2 Transpose Suatu Matriks................................................................................. 3
2.3 Kesamaan Matriks........................................................................................... 4
2.4 Operasi Aljabar Pada Matriks......................................................................... 4
2.5 Perkalian antara Matriks dengan Skalar.......................................................... 5
2.6 Perkalian antar MatriksPerkalian antar Matriks............................................. 6
2.7 Macam-Macam Matriks.................................................................................. 6
2.8 Fungsi Matriks Dalam Kehidupan Sehari-Hari............................................... 7
BAB
III PENUTUP...................................................................................................... 9
3.1 Kesimpulan...................................................................................................... 9
DAFTARPUSTAKA.................................................................................................. 10
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matriks merupakan suatu kumpulan dari simbol, bilangan
ekspresi yang memiliki bentuk persegi panjang dan tersusun sesuai dengan kolom
dan baris. Beberapa bilangan yang ada pada matriks ini dinamakan elemen atau
anggota dari matriks. Jika matriks ini dimanfaatkan dengan baik dengan
penerapan contoh matriks dalam kehidupan sehari hari maka fungsi matriks akan
terpenuhi dan memberikan suatu manfaat tersendiri bagi yang menggunakannya
bahkan bagi menata kehidupan masyarakat yang jauh lebih baik. Untuk
membentuk suatu matriks perlu memenuhi persyaratannya terlebih dahulu. Adapun
syarat-syarat dari matriks itu sendiri adalah sebagai berikut:
- Beberapa unsur yang terdiri atas beberapa bilangan
- Memiliki bentuk kolom dan baris
- Elemen yang ada di dalamnya harus berbentuk persegi panjang menggunakan jenis kurung siku, kurung biasa atau jenis kurung bergaris dua.
- Matriks banyak digunakan untuk penyelesaian berkaitan dengan matematika. Seperti menemukan jalan keluar dari persamaan linier dan transformasi dari linier yaitu dengan bentuk umum dari fungsi linier itu sendiri. Contohnya rotasi dalam 4 dimensi. Matriks ini juga memiliki bentuk variabel bisa sehingga bisa dimanipulasi, mulai dari dijumlah, dikalikan dan dikurangkan. Dengan menggunakan matriks maka sistem hitung bisa dilaksanakan jauh lebih tersusun rapi.
- Matriks bisa memudahkan untuk pembuatan suatu analisis tentang masalah ekonomi yang memiliki kandungan berbagai macam variable.
1.2 Rumusan Masalah
1.
Apa
pengertian matriks?
2.
Bagaimana
transpose suatu matriks?
3.
Apa
kesamaan matriks?
4.
Bagaimana
operasi aljabar pada matriks?
5.
Bagaimana
perkalian antara matriks dengan scalar?
6.
Macam-macam
matriks ?
7.
Apa
fungsi matriks dalam kehidupan sehari-hari ?
1.3 Tujuan
1. Apa pengertian matriks
2. Bagaimana transpose suatu matriks
3. Apa kesamaan matriks
4. Bagaimana operasi aljabar pada
matriks
5. Bagaimana perkalian antara matriks
dengan scalar
6. Macam-macam matriks
7. Apa fungsi matriks dalam kehidupan
sehari-hari
BAB
II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian
Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan , simbol, atau ekspresi,
berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau
anggota matriks. Penemu matriks adalah Arthur Cayley. Syarat – syarat suatu
matriks :
· Unsur – unsurnya terdiri dari
bilangan – bilangan
· Mempunyai baris dan kolom
· Elemen – elemennya berbentuk persegi
panjang dalam kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua.
2.2 Transpose Suatu
Matriks
Transpose suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh
dari suatau matriks asal dengan mempertukarkan antara elemen kolom dan elemen
barisannya.
Jika diketahui suatu matriks A dengan ordo m × n, maka transpose matriks tersebut adalah matriks berordo n × m. Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.
Jika diketahui suatu matriks A dengan ordo m × n, maka transpose matriks tersebut adalah matriks berordo n × m. Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.
Misal Matriks A =
Maka Transpos A adalah At =
Jadi jika ordo matriks A = 3×4 maka
ordo matriks transpos adalah 4×3
Sifat-sifat matriks transpose :
1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At
4) ( kA )t = kAt, dengan k = konstanta
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At
4) ( kA )t = kAt, dengan k = konstanta
Dalam pembahasan transpose dikenal istilah matriks simetri,
yaitu matriks yang sama transposenya. Matriks Simetri merupakan suatu matriks
bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada
baris ke-j kolom ke-i sehingga .
Contoh : G =
Contoh : G =
Unsur
pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga
9.
2.3
Kesamaan Matriks
Kesamaan antara dua matriks tidak hanya ditentukan oleh
kesamaan ordo kedua matriks itu. Dua matriks dikatakan sama ( identik ) jika
ordo keduamatriks itu sama dan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua
matriks sama nilainya. Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau
berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama
dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B
Contoh :
A = dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu
A = dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu
Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.
2.4 Operasi Aljabar
Pada Matriks
Pada operasi aljabar dapat berupa penjumlahan atau
pengurangan matriks dan perkalian matriks.
1. Penjumlahan pada Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapatdijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A = dan B =
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapatdijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A = dan B =
Maka A + B = =
A – B = =
Adapun beberapa sifat dasar yang dimiliki operasi
penjumlahan pada matriks. Untuk A, B, C, dan 0 ( matriks nol ) yang merupakan
matriks – matriks berordo yang sama, berlaku sifat – sifat berikut :
a. A + B = B + A ( sifat komutatif )
b. A + (B + C ) = ( A + B ) + C ( sifat
asosiatif )
c. Terdapat matriks identitas
penjumlahan, yaitu matrik nol sehingga berlaku A + 0 = 0 + A = A untuk setiap
matriks A.
d. Terdapat invers penjumlahan sehingga
berlaku A + (- A) = – A + A = 0, yang dimaksud dengan matriks – A atau matriks
lawan dari matriks A adalah matriks yang elemen – elemennya merupakan negative
dari elemen – elemen dari matriks A yang seletak.
2. Pengurang pada Matriks
Pada
prinsipnya, operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi penjumlahan
pada matrik. Sehingga sifat – sifat pada operasi pengurangan pada matrik sama
dengan operasi pengurangan pada metriks, yaitu :
1)
A – B = A + (- B )
2)
A – B = C
3)
A + B = C, maka berarti B = C – A dan A = C – B
3. Perkalian pada Matriks
Operasi
perkalian pada matriks terdiri dari operasi perkalian antara matriks dengan
suatu scalar dan perkalian antarmatriks (matriks dengan matriks).
2.5
Perkalian antara Matriks dengan Skalar
Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut
juga sutu skalar), maka kA adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya
diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k. Perkalian
seperti ini disebut perkalian skalar.
Jadi, jika A , maka: kA
Jadi, jika A , maka: kA
Contoh : Misal A = maka 3A = 3 =
Sifat-sifat perkalian matriks dengan
bilangan real.
Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A
4) 1 × A = A
5) 0 × A = 0
6) (- 1) A = – A
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A
4) 1 × A = A
5) 0 × A = 0
6) (- 1) A = – A
2.6
Perkalian antar Matriks
Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang
berordo p n adalah matriks C yang berordo m n. A m p.B p n = C m n. Dalam
perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya
baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks
tidak didefinisikan. Secara umum jika A = ordo matriks 2 3 B = ordo matriks 3 2
C = A . B = ordo matriks 2 2
2.7 Macam-Macam
Matriks
a.
Matriks
Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
b.
Matriks
Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.
c.
Matriks
Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom.
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom.
d.
Matriks
Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama.
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama.
e.
Matriks
Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
f.
Matriks
Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
g.
Matriks
Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen – elemennya bernilai nol, kecuali pada diagonal utamanya tidak selalu nol.
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen – elemennya bernilai nol, kecuali pada diagonal utamanya tidak selalu nol.
h.
Matriks
Identitas
Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
2.8 Fungsi Matriks
Dalam Kehidupan Sehari-Hari
1.
Matriks
banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika
misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear
yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks
juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya
dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan
representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
2.
Memudahkan
dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam
– macam variable.
3.
Digunakan
dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan , misalnya masalah operasi
penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dan sebagainya.
4.
Dikaitkan
dengan penggunaan program linear, analisis input output baik dalam ekonomi,
statistic, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen, kimia, dan bidang –
bidang teknologi yang lainnya.
5.
Dengan
menggunaan Microsoft Office Excel sebagai media pembelajaran. Khususnya untuk
menghitung berbagai operasi matriks ternyata cukup mudah untuk dilakukan oleh
guru serta sangat efisien untuk waktu pengerjaan sebuah matriks, jika secara
manual untuk menghitung sebuah matriks yang memiliki orde banyak diperlukan
waktu yang sangat lama bahkan sampai berhari-hari. Tetapi dengan menggunakan
fungsi matriks untuk menghitungnya dapat dilakukan hanya dengan beberapa menit
saja. Apalagi dengan menggunakan Microsoft Office Excel sebagai media
pembelajaran, cukup mudah dilaksanakan dan sangat efektif digunakan sebagai
alat bantu untuk membuat soal-soal latihan interaktif. Hanya saja dibutuhkan
keahlian dan daya imaginasi guru tersebut untuk mengembangkan media
pembelajaran dengan menggunakan Microsoft Office Excel.
BAB
III
KESIMPULAN
3.1 Kesimpulan
Matriks merupakan suatu kumpulan dari simbol, bilangan
ekspresi yang memiliki bentuk persegi panjang dan tersusun sesuai dengan kolom
dan baris. Beberapa bilangan yang ada pada matriks ini dinamakan elemen atau
anggota dari matriks. Jika matriks ini dimanfaatkan dengan baik dengan
penerapan contoh matriks dalam kehidupan sehari hari
Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai
permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan
linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya
rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga
matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta
didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan
dengan lebih terstruktur.
Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah
ekonomi yang mengandung bermacam – macam variable. Digunakan dalam memecahkan
masalah operasi penyelidikan , misalnya masalah operasi penyelidikan sumber –
sumber minyak bumi dan sebagainya. Dikaitkan dengan penggunaan program linear,
analisis input output baik dalam ekonomi, statistic, maupun dalam bidang
pendidikan, manajemen, kimia, dan bidang – bidang teknologi yang lainnya.
DAFTAR
PUSTAKA
Varberg,
Dale, dkk. 2006. Calculus 9th
Edition. Amerika Serikat : Prentice Hall
Sumber website:
http://aktifisika.wordpress.com/2008/11/14/tekanan-dan-fluida/
http://faculty.eicc.edu/bwood/math150supnotes/supplemental31.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar